Κυριακή, 12 Απριλίου 2009

ETE Quiz ... Αρχιμήδης και βοεικό πρόβλημα ...

ΕΤΕ-Εβδομαδιαίο
Στο εβδομαδιαίο διάγραμμα της ΕΤΕ, συμφωνείτε με την ομοιότητα των ελλείψεων και των ορθογωνίων;
Γιατί αν ναι, τότε είναι εύκολα προβλέψιμη η μελλοντική πορεία των τιμών ...
Ενδεχομένως να είμαστε στην ίδια μοίρα με την περίπτωση της έλλειψης λίγο πριν τον πάτο του 2003.



ΑρχιμήδηςΟ Αρχιμήδης (287-212 π.Χ.) ήταν αναμφισβήτητα ο μεγαλύτερος μαθηματικός της αρχαιότητας και ένας από τους σημαντικότερους όλων των εποχών. Η συμβολή του στα μαθηματικά είναι ποικίλη. Πρωτίστως, επινόησε μεθόδους αντίστοιχες του ολοκληρωτικού λογισμού των Λάιμπνιτς και Νεύτωνα, βελτιώνοντας τις μεθόδους του Ευδόξου, τις οποίες εφάρμοσε για τον προσδιορισμό εμβαδών και όγκων διαφόρων σχημάτων. Δεύτερον ασχολήθηκε με τη θεωρητική και εφαρμοσμένη μηχανική, αλλά με την αστρονομία στις οποίες είχε αξιόλογη συμβολή. Τέλος, άφησε διάφορα άλλα σημαντικά μαθηματικά κείμενα, συμπεριλαμβανομένης της περίφημης «Εφόδου».
Είναι γνωστό, ότι ο Αρχιμήδης συνήθιζε να στέλνει επιστολές από τις Συρακούσες όπου ζούσε προς στους μαθηματικούς της Αλεξάνδρειας. Μερικές από αυτές τις επιστολές περιείχαν τις εκφωνήσεις νέων, δικών του, θεωρημάτων, αλλά δεν συνοδευόντουσαν και από τις αποδείξεις τους. Η αιτία ήταν γιατί ήθελε να δώσει την ευκαιρία στους μαθηματικούς να τις διερευνήσουν πριν τους στείλει, αργότερα, το νέο του κάθε φορά βιβλίο με τις αποδείξεις. Παραδείγματος χάριν στο πρόλογο του «Περί Ελίκων» του γράφει προς τον φίλο του μαθηματικό Δοσίθεο αναφερόμενος σε παλαιότερη επιστολή προς τον Κόνωνα, ο οποίος δεν ζούσε πια, τα εξής (σε ελεύθερη απόδοση):
«Τα θεωρήματα που έστειλα προς τον Κόνωνα, για τα οποία πάντοτε με παρότρυνες να γράψω τις αποδείξεις [...] σου τις στέλνω αφού τις έγραψα σ’ αυτό το βιβλίο. Μην απορήσεις όμως εάν μου πήρε πολύ χρόνο να δημοσιεύσω τις αποδείξεις τους γιατί συνέβη το εξής, ήθελα πρώτα να τις δώσω σε εκείνους τους ενασχολούμενους με τα μαθηματικά οι οποίοι επιθυμούσαν να τις διερευνήσουν (δια το βούλεσθαί με πρότερον διδόμεν τοις περί τα μαθήματα πραγματευομένοις και μαστεύειν αυτά προαιρουμένοις).
Τα προβλήματα που έστελνε ο Αρχιμήδης στις επιστολές του ήταν πολύ δύσκολα. Απλή εξέταση όσων εξ αυτών έφτασαν μέχρι τις μέρες μας, και είναι αρκετά, μας πείθει για του λόγου το αληθές. Άλλωστε συχνά αναφέρει ο ίδιος στα κείμενά του ότι τα προβλήματα που είχε στείλει κάποια προηγούμενη φορά κανείς δε φαίνεται να τα έλυσε. Λόγου χάριν στο «Περί Ελίκων», λίγο πριν γράψει τις λύσεις, αναφέρει «[...] αφού πέρασαν πολλά χρόνια και δεν πληροφορήθηκα ότι επιλήφθηκε κανείς των προβλημάτων, επιθυμώ να σου εξηγήσω το καθένα [...]»
Ο Αρχιμήδης γνώριζε ότι αντιμετώπιζε σοβαρότατα προβλήματα με την εντιμότητα των συναδέλφων του μαθητικών της Αλεξάνδρειας και τα αντιμετώπιζε, στήνοντας διάφορες παγίδες ...
συγκεκριμένα, όπως γράφει ο ίδιος, για μερικά θεωρήματα δεν διατυπώνει την σωστή απάντηση γιατί ορισμένοι έχουν την κακή συνήθεια να σφετερίζονται τα θεωρήματά του, λέγοντας ότι τα απέδειξαν οι ίδιοι στο παρελθόν. Γράφει χαρακτηριστικά ότι «[...] διότι συμβαίνει δύο από τα θεωρήματά μου να τα έχω προσθέσει εδώ εσφαλμένα, ώστε αυτοί που ισχυρίζονται ότι τα έχουν βρει όλα, χωρίς όμως να παρουσιάζουν και κάποια απόδειξη, να ελέγχονται ότι ευρίσκουν τα αδύνατα». Και αποκαλύπτει την πονηριά του μόνον αργότερα, όταν στέλνει τις λύσεις στα προβλήματά του.

Ένα από τα τεχνάσματά ενσωμάτωσε σε ένα πρόβλημα, το λεγόμενο βοεικό, το οποίο απέστειλε στη μορφή ποιήματος σε ελεγειακό μέτρο στον φίλο του Ερατοσθένη για τους Αλεξανδρινούς μαθηματικούς.

Το πρόβλημα ζητά να βρεθεί το πλήθος βοδιών και αγελάδων ενός κοπαδιού, από κάποια απλά αριθμητικά δεδομένα. Ένας έμπειρος μαθηματικός δεν έχει καμία δυσκολία να καταστρώσει γρήγορα τις εξισώσεις από τα επιτάγματα του προβλήματος. Όμως ο Αρχιμήδης αναφέρει στους τελευταίους στίχους του ποιήματος ότι «αν καταφέρεις, ξένε, να εκφράσεις όλα τα μεγέθη των πληθών, πήγαινε υπερηφανευόμενος ότι αναδείχθηκες νικητής γνωρίζοντας ότι κρίθηκες τέλειος σε αυτού του είδους την σοφία (δηλαδή στην ικανότητα με τους αριθμούς)».
Ο τελευταίος αυτός στίχος φαίνεται προκλητικός. Είναι σαν να λεει ο Αρχιμήδης ότι δεν θα τα καταφέρει ο λύτης. Πού όμως έγκειται η δυσκολία; Αυτό που δεν αντιλαμβάνεται ο ανυποψίαστος επίδοξος λύτης είναι ότι ο Αρχιμήδης επέλεξε με τέτοια μαεστρία τα δεδομένα του προβλήματος ώστε η απάντηση, χωρίς να προδίδεται κάτι τέτοιο από τα δεδομένα, είναι τόσο μεγάλος αριθμός, που είναι αδύνατον να το γράψει κάτω κανείς. Πράγματι, μόνο το 1965 και με χρήση ισχυρότατων ηλεκτρονικών υπολογιστών έγινε εφικτή η καταγραφή των πληθών. Πρόκειται για οκτώ αριθμούς με 200.000 ψηφία ο καθένας. Για να καταγράψει κανείς τους οκτώ αριθμούς του Αρχιμήδη, πρέπει να γράψει περισσότερα ψηφία από όσα γράμματα έχουν 600 σελίδες κειμένου, χώρια οι πράξεις για να φτάσει κανείς μέχρι εκεί. Κάτι, φυσικά, πέρα από τις ανθρώπινες δυνάμεις.


Το βοεικό πρόβλημα.

1η εκφώνηση:

2η εκφώνηση:



Η Λύση ... (από τον Ευκλείδη β' Ε.Μ.Ε.)


"Επι τη βάσει των ανωτερω καταρτίζεται σύστημα επτά εξισώσεων με οκτώ αγνώστους, το οποίον ανάγεται εις την επίλυσιν της διοφαντικής εξισώσεως
x2-k ψ2 =1,
ένθα κ=4729294 – μη τέλειον τετράγωνον.

Η ανωτέρω εξίσωσης είναι τύπου Lagrange-Fermat
και επιλύεται αφού πρώτον μετατρέψωμεν την √k εις συνεχές κλάσμα κατά την μέθοδον του Lagrange.

Κατά τον Amtbor ο ζητούμενος αριθμός των βοών έχει 206545 ψηφία και για να γραφή χρειάζεται ένας ογκώδης τόμος 600 σελίδων"


Η μουσική επιλογή : Μελωδία και ήχοι από αρχαία κιθάρα ...


Αρχαία κιθάρα


Τα του Καίσαρος τω Καίσαρι ήτοι:
η ιδέα ανήκει στον Usound
το υλικό από
1. τον ευκλείδη β' περιοδικό της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας 1, 2
2. το ερευνητικό υπόμνημα του Μιχαήλ Σ. Λάμπρου
3. τη διπλωματική εργασία της Σταματίνας Στεφανάκη
η σκηνοθεσία δική μου
4. Archimedes . . . The Cattle Problem


Το σχόλιο του mc, ο οποίος είπε:"Τα σχόλια επιθυμώ να μένουν για μερικά δευτερόλεπτα μόνο. Θα είναι η ταπεινή συνδρομή μου στην επίλυση της μοντέρνας εκδοχής του βοεικού προβλήματος."
Ως γνωστόν, οι επιθυμίες όλων είναι σεβαστές στο Petit bateau...

36 σχόλια:

  1. Διαπίστωσα ότι μου διαγράψατε ένα σχόλιο.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Εσεις το διαγράψατε πρώτος νομίζω κι εγώ το αποτελείωσα :-)
    Αν έκανα λάθος ζητώ χίλια συγνώμη, η διαγραφή δεν είχε σκοπό την λογοκρισία!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Εκπληκτικό το σημερινό κείμενο σου Εύη.Ο Αρχιμήδης με την χρήση ολοκληρωτικού λογισμού για τον υπολογισμό του εμβαδού μίας σκάλας και κύριος Νίκος με την Αμοργό,την μοναδική.Και οι περήφανοι ταύροι. Να είσαι καλά.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. και βέβαια η Fotini είναι ο ΝίκοςΤ,απλά χρησιμοποίησα ξένο pc και ξεχάστηκα.
    ΝίκοςΤ

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Νίκο, και mc πολύ με μπερδεύετε σήμερα! :-)

    Περιμένετε λίγο το κείμενο υπο κατασκευή δεν τελείωσε ακόμα... πρέπει να βαλω την εκφώνιση του βοεικού προβλήματος και κάτι ακόμα από το τι τραβούσε ο Αρχιμήδης με τους συναδέλφους του μαθηματικούς που του έκλεβαν τη δουλειά του.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  6. Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  7. αυτη η αναρτηση ΔΕΝ αφαιρεθηκε απο τον συγγραφεα.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  8. Ωραία! μου βάζετε δύσκολα προβλήματα σήμερα!
    Ο mc θέλει τα σχόλιά του να εμφανίζονται μόνο για μερικά δευτερόλεπτα και μετά να εξαφανίζονται, o haros να παραμένουν ως έχουν. Μα ούτε θηλυκός Mac Gayver να ήμουν δεν θα έβρισκα τόσο γρήγορα λύσεις στις επιθυμίες σας! :-)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  9. Καλησπέρα στο "ζαχαροπλαστείο"...και στη Δημιουργό,
    Μπαίνω με το δεξί έστω και λίγο...καθυστερημένα
    Λοιπόν...στο Μουσελίν προτιμούσα τις τάρτες φράουλας...:-)
    Καλή εβδομάδα είτε μικρή είναι είτε Μεγάλη...
    cell

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  10. Καλώς ήλθατε cell! To Μουσελίν είναι πατρινό ζαχαροπλαστείο. Τάρτες φράουλας; Υπέροχες! Αν δεν ήταν Μεγάλη Εβδομάδα θα κερνούσα ... φωτό, επιφυλάσσομαι:-)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  11. Εν αναμονή λοιπόν της φωτο...τάρτας την επόμενη εβδομάδα...:-)(ως Πατρινό το ανέφερα κι εγώ και χαίρομαι για τον ενεστώτα-άρα υπάρχει ακόμη...)
    Καλή Μεγαλοβδομάδα
    Εις το επανιδείν
    cell

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  12. Υπάρχει, όπως υπάρχουν κι άλλα εξ' ίσου πολύ καλά ζαχαροπλαστεία στην Πάτρα, εκείνο που χάθηκε είναι το σερβίτσιο δηλ. η αίθουσα ζαχαροπλαστείου.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  13. Όπερ...Αίθουσα ζαχαροπλαστείου Un petit bateau...:-)
    cell

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  14. Για να ακριβολογούμε το Αίθουσα ζαχαροπλαστείου βγήκε από το ζαχαροπλαστείο που είχαμε παλιά στην Κάτω Αχαΐα :-)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  15. Στην παρούσα διαδικτυακή "Αίθουσα ζαχαροπλαστείου Un petit bateau"...αναφερόμουν.
    Συγγνώμη για την "αρμένικη" επίσκεψη...:-)
    Καλό βράδυ
    cell

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  16. Α! γιατί συγνώμη; Η διάρκεια της επίσκεψης στο χώρο μπορεί να είναι όση θέλετε :-)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  17. Εύη,χίλια μπράβο για το συμπληρωμένο σημερινό κείμενο σου.Απροσδιόριστη ανάλυση και Διοφαντικές εξισώσεις.Τα μαθηματικά μαζί με την σπάνια ποίηση αλληλοσυμπληρώθηκσν ιδανικά.Σιγοψιθυρίζω το "όλα κύριε Νίκο είναι εδώ,όπως τα ήξερες...." που τραγούδησε η Τσανακλίδου για τον Γκάτσο.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  18. Είδατε που σας έλεγα; Και για το τι τραβούσε ο Αρχιμήδης τότε με τους Αλεξανδρεινούς μαθηματικούς που του έκλεβαν τη δουλειά!!! Αλλά κι αυτός δεν χάριζε κάστανα!

    Για Γκάτσο και ολόκληρη την Αμοργό στο διπλανό blogάκι :-)
    Un Petit Bateau III

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  19. καλησπέρα!
    τα πάντα όλα η ανάρτηση!
    μακάρι να είχα και τα σχόλια που λείπουν...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  20. Καλησπέρα geokalp!
    Για τα σχόλια που λείπουν ψάχνω τρόπο να τα αναρτήσω σύμφωνα με τον τρόπο που μου παρήγγειλε ο mc, να εμφανίζονται δηλ. μόνο για 30" και μετά να εξαφανίζονται!

    Α! εδώ τηρούνται όλες οι παραγγελίες!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  21. την καλημέρα μου.

    για το βοεικό πρόβλημα του Αρχιμήδη, και τον ολοκληρωτικό λογισμό, οφείλω να σε κάνω γνωστό ότι εμείς εδώ στην Καρδίτσα έχουμε κάποιον που το έλυσε πριν 80 χρόνια.

    Λέγετε ότι:
    -όταν ο παππούς, του σημερινού υφυπουργού παιδείας Σπύρου Ταλιαδούρου -τρίτη γενιά πολιτικός-πέθαινε,είπε στον πατέρα του:

    -Σάκη Περιουσία ΔΕΝ έχω να α'αφήσω.
    έχω όμως να σ'αφήσω 15.000 Βόδια!
    -κοίτα μη τα χάσεις, γιατί χάθηκες!

    καί τα "βόδια"της Καρδίτσας από τέσσερα κοπάδια ήταν τότες!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  22. @ evie

    η δική μου παραγγελιά είναι:

    μια πάστα με γεύση μιλφεϊγ που να μου θυμίζει σοκολάτα αλλά να μην είναι, σε σχήμα κοκ,αλλα και κορνέ,με χρώμα παγωτού βανίλιας σε μους απόχρωση γαρνιρισμαίνη με αμύγδαλα αλλά να δείχνουν καρύδια και απο πάνω το κερασάκι να είναι:





    αυτό

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  23. Έχω βρεί έναν αλγόριθμο που μου βρίσκει αν μια διοφαντική εξίσωση έχει λύσεις ή όχι, αλλά το περιθώριο των σχολίων δεν χωράει για να τον γράψω.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  24. albatrus και usound μου πήρατε φόρα με τις δύσκολες παραγγελίες βλέπω!!! Αλλά δεν με ξέρετε καλά εμένα!
    Έχω μαθητεύσει από μικρή στην εκτέλεση δύσκολων παραγγελιών. "π.χ. καφεδάκι βαρύ γλυκό και όχι που είναι από πάνω και κάτω ζεστός και στη μέση κρύος ή μια γκαζόζα με 2 καλαμάκια και πέντε ποτήρια νερό και πολλά άλλα "

    Τον αλγόριθμο θα μας τον γράψεις usound κι εγώ, μην ανησυχείς, έχω τον τρόπο να τον χωρέσω στα σχόλια.

    το γλυκο του albatrus είναι κομματάκι δύσκολο, θα το προσπαθήσω κι ό,τι βγει :-)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  25. δε μου είπες φιλενάδα...
    το "αυτό" σου άρεσε;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  26. φυσικά και μου άρεσε το τραγούδι και τα λόγια του, γι αυτό είπα ότι είναι δύσκολο το γλυκό που ζήτησες! το κερασάκι είναι δυσεύρετο, που να βρώ άγγελο και καλοκαιρινό κρασί τέτοια εποχή! :-)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  27. Καλησπέρα Εύη,τι κάνεις; Άργησα σήμερα να καθήσω μπροστά στο pc.Πάντα χαμογελαστή καλή μου συνάδελφε.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  28. Καλησπέρα Νίκο! Γιατί να μην χαμογελάμε δηλαδή; Η καλή καρδιά μένει και η φιλία.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  29. διακοπτω την αποτοξινωση για να πω το εξης.το πλεισμεντ της ΕΤΕ,ΔΕΝ ειναι καλο μηνυμα της διοικησης,απεναντι στο επενδυτικο κοινο,για την βραχυπροθεσμη πορεια του χαρτιου.εγω την εχω μπαουλιασει και δεν την πουλω,αν δεν παει 19,και ας περασει εναμιση χρονος.αν ομως την επαιζα βραχυπροθεσμα,χτες η σημερα θα κουνουσα μαντηλι...ξαναγυρνω στην σιωπη.μεγαλη βδομαδα ειναι.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  30. Ευαγγελία καλή σου μέρα κοπέλα μου!
    εμείς εδώ Αθήνα,γίναμε μουσκίδι.
    βρέχει με το τουλούμι που λένε στο χωριό μου.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  31. Δημήτρη, ό,τι και να κάνουν με την ΕΤΕ αυτή θα πάει στα 19 ο κόσμος να χαλάσει!

    Οι βραχυχρόνιες κινήσεις δεν βγαίνουν πάντα σωστές! Πάρε παράδειγμα εμένα που φοβήθηκα να αγοράσω όταν πήγε στα 8 και τόσο. Αυτή τη φορά θα βρω μια τιμή θα μπω με το 100% και θα τα αφήσω μπαουλιασμένα μελετώντας με την ησυχία μου τα επίπεδα πώλησης χωρίς να βιάζομαι όπως τις προηγούμενες φορές.

    Αποστόλη, χτες έβρεχε στην Πάτρα όλη τη μέρα, σήμερα είχε Ήλιο, λίγο ψιχάλισε όταν έπινα καφεδάκι στην πλατεία Γεωργίου το μεσημέρι κι αυτό ήταν όλο!

    Καλά να περνάτε παιδιά και καλή Ανάσταση εύχομαι, πάντα με υγεία και ειρήνη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  32. Καλή Ανάσταση κύριε mc.

    Δεν πάμε καλά με τα κεριά και τα λιβάνια μου φαίνεται :-)

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Αίθουσα ζαχαροπλαστείου Un petit bateau...